7 de enero de 2012

¿Gaussiano? Me temo que no

Pasada la resaca navideña, estoy de vuelta para compartir algunas de mis ideas e inquietudes sobre sistemas de juego y, sobre todo, la estadística subyacente. Hoy quiero hablar un poco sobre funciones de probabilidad lineales y no lineales en las tiradas de dados.

Ya sabemos que la función de probabilidad relaciona los valores de la variable aleatoria (en este caso el resultado de los dados) con su probabilidad de obtenerlos. Además, la función de distribución de probabilidad relaciona esos valores con la probabilidad de obtener un valor igual o menor (es decir, es la función de probabilidad acumulada). Pues bien, una función de probabilidad es lineal si la probabilidad de todos los valores posibles es la misma o, lo que es equivalente, si la función de distribución traza una linea recta. 

En los juegos de rol, son lineales todos los sistemas que utilizan un único dado (incluyendo un dado de cien, los clásicos sistemas de percentiles). Pero en el momento en que empezamos a sumar dados o escoger la mediana de una distribución generada lanzando varios dados (escoger el valor central de los dados, vaya) las leyes de la combinatoria entran en nuestras vidas retorciendo la funciones de probabilidad y distribución. Estos son los sistemas no lineales.

Hay en el mundillo de los juegos de rol una tendencia desmedida y profundamente errónea de llamar gaussianos a los sistemas no lineales. Sería algo así como llamar coche a todo lo que tenga ruedas o coca-cola a todas las bebidas. Es más, en realidad sería como llamar coca-cola a todos los líquidos comestibles que no son bebidas (como el vinagre o el aceite). ¿De qué estoy hablando? Expliquemos que es realmente un modelo gaussiano para entenderlo.

Estudiando diversas variables físicas (como la estatura o el peso) y otras de carácter psicosocial (como la inteligencia o la extroversión), se comprueba que existe una forma característica para dichas distribuciones. Es una forma de campana, simétrica que viene a tener esta pinta:



El descubrimiento de esta función se atribuye a Gauss (y por eso se lleva su nombre) y está relacionado con que las variables descritas pueden definirse por la suma de causas independientes y, por tanto, ser explicadas por el teorema central del límite. Pero no voy a seguir por este camino. Quedémonos con que es una forma muy frecuente para ciertas variables.

Ahora bien, la forma de la campana de Gauss (también llamada distribución normal) sigue una determinada expresión matemática (que nos vamos a ahorrar aquí) y, lo más importante de todo, se aplica únicamente a variables aleatorias continuas. De hecho, no es una función de probabilidad (ya que las variables aleatorias no tienen función de probabilidad: si hay infinitos valores, no puede calcularse la probabilidad de obtener un valor concreto, ya que seria necesariamente cero), sino que es una función de densidad de probabilidad: representa la probabilidad con el área que hay bajo la curva, no con su altura. Si escogemos dos valores cualquiera y comprobamos cuál es el área encerrado entre ellos (calculando la correspondiente integral definida) estaremos obteniendo la probabilidad de obtener un valor entre esos dos puntos.

Como nuestras tiradas de dados son necesariamente discretas, no pueden seguir la curva de Gauss, aunque pueden aproximarse a ella mediante polígonos, habitualmente histogramas... Pero esa es otra historia. La cuestión es que esa aproximación sólo se consigue sumando muchos dados (¡por el teorema central del límite!), tantos que la suma de valores empieza a parecer infinita y por tanto puede tratarse como continua... Vamos, que es un caso hipotético que en nuestra mesa de juego no tiene ninguna cabida.

Y ahora viene la traca final: cuando diseñamos un sistema de juego, normalmente nos preocupa esa aproximación a lo gaussiano por cuestiones de realismo. Si en la realidad hay tantos procesos que siguen la distribución normal, entonces parece que obtendremos un realismo mayor si nuestro sistema de juego se aproxima a la distribución gaussiana. Esto es cierto, en espíritu. Porque en la realidad no hay tiradas de dados y lo que se distribuye siguiendo la campana de Gauss son los procesos o sucesos propiamente dichos, no un valor que se les añada o compare. Donde quiero ir a parar es que realmente es la resolución de éxito o fracaso la que debería tener una función de probabilidad no lineal, no necesariamente la tirada de dados. 

En ciencia, lo más parecido que hay a una tirada de dados es la generación de números aleatorios en estudios de simulación. Pues bien, cuando se quiere comprobar en un estudio de simulación si un suceso ocurre o no, lo que se hace es generar un número aleatorio entre 0 y 1 (siguiendo la llamada distribución uniforme, una distribución lineal para variables continuas) y comparar el valor obtenido con la probabilidad del suceso. Si la probabilidad es menor o igual, el suceso ocurre. ¿A qué os suena esto? Efectivamente, amigos, esto se parece bastante a los sistemas de percentiles (que usan como sabemos 1d100 y son, por tanto, lineales). Y entonces, ¿dónde queda el asunto gaussiano que tanto nos preocupaba hace un párrafo? ¿Qué pensáis?

15 comentarios:

  1. Si lo que se habla aqui es acerca de la aplicación de esto a los juegos de rol opino que los sistemas lineales son en principio efectivos siempre y cuando los reultados extremos no generen efectos excesivamente extremos, tanto en un sentido como en otro.
    Si lanzamos un D20 y aplicamos críticos o pifias en los resultado 20 y 1 respectivamente llegaríamos a una situación en la que una de cada 10 veces ocurriria algo excepcional, ya sea bueno o malo. Esto supone una escesiva dependencia de lo aleatorio, habrá gente a la que le divierta, no es mi caso, por lo que yo no soy partidario de algo asi.

    En resumen, me gustan los sitemas lineales siempre y cuando los resultados extremos no generen situaciones extremas.

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  2. A mi también me gustan los sistemas lineales. En un sistema no lineal las tiradas suelen rondar los mismos números y, en mi opinión, pierden relevancia.

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  3. Un sistema lineal funciona bien cuando el resultado oscila simplemente entre "éxito" y "fracaso", dado que al final todo se reduce a un porcentaje X de que salga. Tanto si tiras un d100, como si tiras 37 dados de 8 y te quedas con la media de los 5 centrales.

    Diría que la diferencia viene precisamente cuando el grado de éxito es relevante, cuando no es lo mismo acertar con un resultado X que con un resultado Y. Esto, claro, podría razonarse con que en definitiva tienes un porcentaje X de éxito y un porcentaje Y de crítico. Pero como se ha apuntado previamente, pues cuando lo excepcional se vuelve norma (overbooking de sucesos excepcionales), es cuando uno se debe plantear las bondades o miserias de cada modalidad.

    Claro que muchas veces es algo tan simple como una cuestión de preferencias. A título personal hay determinados sistemas tenebrosos de los que no me he parado a hacer un estudio probabilístico, pero que aborrezco sobremanera.

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  4. Interesante reflexión, aunque creo que tampoco añade mucho excepto explicar porque las tiradas no lineales no son Gauss que no tanto su efecto en un sistema, ¿Habrá una entrada posterior entrando en los efectos más concretos de estas en el diseño de un juego?


    Precisamente Darok, los que usamos de sistemas como el que comenta el autor, es precisamente para que sea más importante lo bueno que es tu personaje, y no tanto el azar, ya que los valores extremos se vuelven raros. Esto no es bueno ni malo, simplemente generará un tipo de experiencia de juego, todo depende de cual quieres para tu juego.


    Voy a intentar explicar un efecto de quitarle relevancia al azar mediante la tirada de RyF (3D10 y nos quedamos el dado del centro), que genera una campana como la que comenta Manuel, y que hemos observado en muchas partidas.

    Y es que en el momento en que tirar por tirar suele perder importancia (porque tienes muy pocas posibilidades conseguirlo si has de sacar un valor extremo), se tiende a buscar al personaje del grupo que sabe del tema, lo que redunda en un "juego en equipo" donde cada uno tiene su rol que, a mi, me gusta.

    No se, a mi no me gustan las partidas en que todos tiran para abrir cerraduras, porque total, si saco un 20 lo saco ;)

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  5. Estoy de acuerdo con Theck acerca de que el rol de cada personaje ha de tener importancia y creo que por más que todos puedan tener opción de éxito en un sistema lineal, ya sea d20 o el de Cthulhu, sigue siendo el personaje que más sabe del tema quien intenta normalmente la acción. De todos modos no es por ahí por donde pretendía enfocar el tema y quizás con un caso concreto se vea mejor cual es el motivo de mis preferencias.

    El caso concreto sería en el juego de rol del Capitán Alatriste, donde tiramos 3d6 para realizar una acción y es exitosa si sacamos por debajo de la habilidad del personaje. En cuanto un personaje logra llevar una habilidad nada más que hasta 14 (algo que es posible de inicio con más de una habilidad), tiene más un 90% de probabilidades de éxito en condiciones normales. En condiciones difíciles solo se tiran dos dados y el tercero se considera un 6, con lo que el personaje "solo" tendrá éxito más de un 83% de las veces. Y en las condiciones más difíciles imaginables, tirando solo 1d6+12, conseguirá hacerlo una de cada tres veces. Personalmente lo considero excesivo, por mucho que pretendamos representar que un personaje es todo un experto en un campo concreto.

    La situación se agrava todavía más cuando se trata de habilidades enfrentadas, en las que tener un par de puntos menos que otro personaje puede representar una diferencia enorme a niveles intermedios e irrelevante a niveles altos o bajos.

    Por supuesto al final todo esto va en gustos y cada máster busca soluciones para permitir que el juego siga teniendo interés y color. Yo todavía no he encontrado un sistema que me satisfaga para cualquier tipo de juego y voy variando en función del tipo de partida de que se trate.

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  6. No creo que en la vida real tengamos muchas veces la clara constancia de quien es mejor en algo que a veces salpica las mesas de juego: "Conduzco yo, que tengo 15" he llegado a oír con estupor. Pero bueno, el objetivo del post era únicamente atacar el abuso del uso "gaussiano" por incorrecto y terminar exponiendo la semilla de una idea que voy a desarrollar más importante: que se da una importancia excesiva a la forma que sigue la función de distribución de probabilidad de los dados, cuando lo realmente importante es la forma de la función de éxito-fracaso... Pero bueno, de esto, del Modelo Lineal General y de la Teoría de la Respuesta al Ítem hablaré en una próxima entrada que espero encontréis más interesante y aprovechable.

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    1. Ex-alumna tuya de la UCM y aficionada al rol, a mi me ha parecido muy interesante y lo compartiré con más aficionados. Y teniendo por fín la asignatura aprobada me ha parecido hasta hermoso xD Gracias por estos artículos.

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    2. Gracias a ti por el comentario. ¿Ex alumna mía? Ya me dirás quién eres.

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  7. Espero con impaciencia, no te digo más :)

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  8. Sino recuerdo mas, las variables discretas, por la ley de los grandes numeros, tienden hacia la distribucion normal...

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  9. Hola Alberto. La Ley de los grandes números lo que dice es que una sucesión de variables aleatorias converge al promedio de las esperanzas de las variables involucradas. En nuestro caso nos serviría para explicar que tirando muchos dados se obtienen valores cada vez más concentrados entorno a la media. Si estas variables aleatorias tienen varianzas finitas, entonces la diferencia entre su suma y el valor esperado de la suma seguirá la distribución normal asintóticamente (es decir, cuando el número de variables se hace muy grande): este es el teorema central del límite que menciono en el texto.

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  10. Eso mismo, mira que bien viene refrescar las cosas. Hace años que no toco Estadistica, tendras que perdonarme todo error que pueda cometer, pero el articulo me ha parecido muy interesante. Estadistica y rol juntos, quien lo iba a decir...

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  11. No hay nada que perdonar, todo comentario es bienvenido. Espero que las entradas futuras sean también de tu interés: hay estadística y rol para rato en mi cabeza... ;-)

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  12. Vaya, me fascina este tema... lo malo es que mis conocimientos matemáticos sólo llegan hasta el experimento social que fue 2º de bachiller Logse y me a veces me cuesta un poco seguiros xD

    Hace poco hablaba con un amigo de estas cosas y metíamos la pata justo en lo de confundir los resultados de las tiradas de dados con las probabilidades de que se diese cierto suceso...

    No obstante, si en un sistema dado tiras 2D6 + habilidad contra una dificultad dada y supones que la dificultad para algo que la mitad de las personas sin entrenamiento puede hacer es 7, el sistema arrojaría que efectivamente algo más de la mitad lo conseguirían, Los profesionales (con una habilidad de +1, por ejemplo) tendrían muchas más posibilidades de conseguirlo. Los ineptos que tuvieran penalizadores por algo (habilidad -1) tendrían muchas menos probabilidades de conseguir el éxito. ¿Esto no sería también una aproximación a la realidad?

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  13. Es una aproximación, en TRI por ejemplo se asume que los sujeto con un cierto nivel de habilidad z tienen precisamente un 50% de posibilidades de realizar una tarea de dificultad igual a su nivel de habilidad. La cuestión sería modelar de manera adecuada como cambia la probabilidad conforme la habilidad del personaje es mayor o menor que la dificultad correspondiente... En mi última entrega introduzco un poco sobre esto.

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