Algo latente

Las limitaciones del modelo lineal en Psicometría llevan a desarrollar, a partir de la década de los 50, un nuevo paradigma dentro de la medición psicológica. Este nuevo paradigma, la Teoría de la Respuesta al Ítem (TRI), se centra en la consideración de lo medido como "latente" o inobservable, haciendo un énfasis especial en este punto, por lo que también se conoce como modelo fuerte de la puntuación verdadera (por contraposición al modelo débil que sería el modelo lineal del que hablamos en el post anterior).

En TRI, un modelo matemático relaciona la probabilidad de tener éxito en una tarea con el rasgo latente del sujeto (el equivalente a la puntuación verdadera y, en términos roleros, la característica o habilidad apropiada para la acción). El modelo matemático puede tener, en principio, cualquier forma, siempre que cumpla las siguientes condiciones:

• Estar acotado en 0 y 1, es decir que la probabilidad mínima de tener éxito es 0 y la máxima es 1 (vamos, lo que viene siendo los límites propios de la probabilidad.
• Ser monótono creciente, es decir, que conforme aumente el rasgo latente, aumente la probabilidad de tener éxito. Esto tiene todo el sentido: a mayor fuerza, mayor probabilidad de levantar un cierto peso, a mayor habilidad disparando, mayor probabilidad de acertar un blanco, etc.
• Estar caracterizado por determinados parámetros de la tarea (esto, en realidad, no es cierto, ya que hay modelos de TRI no paramétricos, pero para nuestros fines interesa que sea así). Es decir, que la probabilidad de tener éxito depende del nivel de rasgo del sujeto y también de alguna propiedad de la tarea. Para nuestros fines, la dificultad de la tarea debería ser tenida en cuenta, así que perfecto.

De esta forma, sabiendo cuál es el nivel de habilidad del sujeto y la dificultad de la tarea puede calcularse la probabilidad de éxito usando el modelo matemático correspondiente. Si ahora quiero saber que es lo que pasa finalmente solo tendría que generar un número aleatorio de una distribución uniforme entre 0 y 1 y compararlo con la probabilidad de éxito: si el número es menor o igual que la probabilidad, la acción tiene éxito. Si el número es mayor, la acción falla.

Nótese que un número aleatorio generado de la distribución uniforme (0, 1) sigue una distribución lineal, pero eso no significa que un sistema de resolución de tareas así planteado sea lineal. Por contra, dependerá realmente de cuál sea modelo matemático que relaciona la habilidad del sujeto con la probabilidad de éxito en la tarea. Si dicho modelo es lineal, entonces sí, será un sistema lineal, pero esto no es lo normal.

De hecho, los primeros modelos de TRI presentados eran modelos gaussianos. Sí, se trata de un enfoque perfecto para las condiciones planteadas, ya que la función de distribución de probabilidad de la curva de Gauss es asíntotica en 0 y 1, es monótona creciente y admite parámetros para determinar su localización, su tasa de crecimiento, etc.

Los modelos gaussianos se abandonaron rápidamente porque eran matemáticamente difíciles de tratar (requieren cálculo integral, son difíciles de derivar... en fin, un chocho) y se propusieron en su lugar modelos logísticos, con la singularidad de que usando una constante de escalamiento se producía una aproximación casi perfecta a los modelos gaussianos.

El modelo logístico más sencillo es el de un parámetro (precisamente, la dificultad), también llamado modelo de Rasch y tiene la siguiente expresión:

Donde:
D es la constante que aproxima el modelo logístico al normal, cuando D = 1.701
z es el rasgo latente del sujeto (su puntuación en la característica o habilidad) expresada en puntuaciones típicas (media 0 y desviación típica 1)
b es la dificultad de la acción, expresada en las mismas unidades que z

La función tiene, por cierto, esta pinta:

Donde las dos curvas representarían acciones con distinta dificultad (es decir, distinto valor de b). Como puede verse, la probabilidad de éxito crece en función del nivel de habilidad z (en el gráfico aparece como Ability). La línea continua representa una acción más compleja, mientras que la línea punteada representa una acción de dificultad media.

¿Nos sirve esto para nuestro sistema de juego "perfecto"? En la próxima entrega veremos como.